平行线问题

     平行线是我们日常生活中非常常见的图形．练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段．

　　正因为平行线在生活中的广泛应用，因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识．

　　正因为平行线在几何理论中的基础性，平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象．历史上关于平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何)，它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用．

　　例1 如图 1－18，直线a∥b，直线 AB交 a与 b于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2，求证：∠C=90°

　　分析 由于a∥b，∠1，∠2是两个同侧内角，因此∠1+∠2=

过C点作直线 l，使 l∥a(或 b)即可通过平行线的性质实现等角转移．

　　证 过C点作直线l，使l∥a(图1－19)．因为a∥b，所以b∥l，所以

　　因为AC平分∠1，BC平分∠2，所以

　　又∠3=∠CAE，∠4=∠CBF(内错角相等)，所以

　　说明 做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”是否成立， 即“两条直线a，b被直线AB所截(如图1－20所示)，CA，CB分别是∠BAE与∠ABF的平分线，若∠C=90°，问直线a与直线b是否一定平行？”

　　由于这个问题与上述问题非常相似(将条件与结论交换位置)，因此，不妨模仿原问题的解决方法来试解．

　　例2 如图1－21所示，AA₁∥BA₂求∠A₁-∠B₁+∠A₂．

　　分析 本题对∠A₁，∠A₂，∠B₁的大小并没有给出特定的数值，因此，答案显然与所给的三个角的大小无关．也就是说，不管∠A₁，∠A₂，∠B₁的大小如何，答案应是确定的．我们从图形直观，有理由猜想答案大概是零，即

　　猜想，常常受到直观的启发，但猜想必须经过严格的证明．①式给我们一种启发，能不能将∠B₁一分为二使其每一部分分别等于∠A₁与∠A₂．这就引发我们过B₁点引AA₁(从而也是BA₂)的平行线，它将∠B₁一分为二．

　　证 过B₁引B₁E∥AA₁，它将∠A₁B₁A₂分成两个角：∠1，∠2(如图1－22所示)．

　　因为AA₁∥BA₂，所以B₁E∥BA₂．从而

　　即 ∠A₁-∠B₁+∠A₂=0．

　　说明(1)从证题的过程可以发现，问题的实质在于AA₁∥BA₂，它与连接A₁，A₂两点之间的折线段的数目无关，如图1－23所示．连接A₁，A₂之间的折线段增加到4条：A₁B₁，B₁A₂，A₂B₂，B₂A3，仍然有

　　(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即

　　这时，连结A₁，A_n之间的折线段共有n段A₁B₁，B₁A₂，…，B_n-₁A_n(当然，仍要保持 AA₁∥BA_n)．

　　(2)这个问题也可以将条件与结论对换一下，变成一个新问题．

　　问题1 如图1－24所示．∠A₁+∠A₂=∠B₁，问AA₁与BA₂是否平行？

　　问题2 如图1－25所示．若

　　例3 如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，

　　求∠C．

　　分析 利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB．若能将∠1，∠2，∠C“集中”到一个顶点处，这是最理想不过的了，过F点作BC的平行线恰能实现这个目标．

　　解 过F到 FG∥CB，交 AB于G，则

　　因为 AE∥BD，所以

　　说明(1)运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线(平行线)的常用技巧．

　　(2)在学过“三角形内角和”知识后，可有以下较为简便的解法：∠1=∠DFC=∠C+∠2，即

　　例4 求证：三角形内角之和等于180°．

　　分析 平角为180°．若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决， 下面方法是最简单的一种．

　　证 如图1－27所示，在△ABC中，过A引l∥BC，则

　　显然 ∠1+∠BAC+∠2=平角，

　　所以 ∠A+∠B+∠C=180°．

　　说明 事实上，我们可以运用平行线的性质，通过添加与三角形三条边平行的直线，将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论．如将平角的顶点设在某一边内，或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处，不过，解法将较为麻烦．同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法．

　　例5 求证：四边形内角和等于360°．

　　分析 应用例3类似的方法，添加适当的平行线，将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角．在添加平行线中，尽可能利用原来的内角及边，应能减少推理过程．

　　 证 如图1－28所示，四边形ABCD中，过顶点B引BE∥AD，BF∥CD，并延长 AB，CB到 H，G．则有∠A=∠2(同位角相等)，∠D=∠1(内错角相等)，∠1=∠3(同位角相等)．

　　又 ∠ABC(即∠B)=∠GBH(对顶角相等)．

　　由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°，所以

　　说明(1)同例3，周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变．

　　(2)总结例3、例4，并将结论的叙述形式变化，可将结论加以推广：

　　(3)在解题过程中，将一些表面并不相同的问题，从形式上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这是发展人的思维能力的一种重要方法．

　　例6 如图1－29所示．直线l的同侧有三点A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求证： A，B，C三点在同一条直线上．

　　分析A，B，C三点在同一条直线上可以理解为∠ABC为平角，即只要证明射线BA与BC所夹的角为180°即可，考虑到以直线l上任意一点为顶点，该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角，结合所给平行条件，过B作与l相交的直线，就可将l上的平角转换到顶点B处．

　　证 过B作直线 BD，交l于D．因为AB∥l，CB∥l，所以

　　又∠1+∠2=180°，所以

　　即∠ABC=180°=平角．

　　A，B，C三点共线．

　　思考 若将问题加以推广：在l的同侧有n个点A1，A2，…，An-1，An，且有AiAi+1∥l(i=1，2，…，n-1)．是否还有同样的结论？

　　例7 如图1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD．

　　　　求证：∠3=∠B．

　　分析 如果∠3=∠B，则应需EF∥BC．又知∠1=∠2，则有BC∥AD．从而，应有EF∥AD．这一点从条件EF⊥CD及∠D=90°不难获得．

　　证 因为∠1=∠2，所以

　　因为∠D=90°及EF⊥CD，所以

　　所以 BC∥EF(平行公理)，

　　1．如图1－31所示．已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．

　　2．如图1－32所示．CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数．

　　3．如图1－33所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．问：EF与EG中有没有与AB平行的直线，为什么？

　　4．证明：五边形内角和等于540°．

　　5．如图1－34所示．已知CD平分∠ACB，且DE∥ACCD∥EF．求证：EF平分∠DEB．