第三讲求代数式的值
第三讲求代数式的值
用具体的数代替代数式里的字母进行计算,求出代数式的值,是一个由一般到特殊的过程.具体求解代数式值的问题时,对于较简单的问题,代入直接计算并不困难,但对于较复杂的代数式,往往是先化简,然后再求值.下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧.
例1 求下列代数式的值:
分析 上面两题均可直接代入求值,但会很麻烦,容易出错.我们可以利用已经学过的有关概念、法则,如合并同类项,添、去括号等,先将代数式化简,然后再求值,这样会大大提高运算的速度和结果的准确性.
=0-4a3b2-a2b-5
=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5
=-16+2-5=-19.
(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)]
=3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)
=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z)
=2xyz-2x2z
=2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)
=12+6=18.
说明 本例中(1)的化简是添括号,将同类项合并后,再代入求值;(2)是先去括号,然后再添括号,合并化简后,再代入求值.去、添括号时,一定要注意各项符号的变化.
例2 已知a-b=-1,求a3+3ab-b3的值.
分析 由已知条件a-b=-1,我们无法求出a,b的确定值,因此本题不能像例1那样,代入a,b的值求代数式的值.下面给出本题的五种解法.
解法1 由a-b=-1得a=b-1,代入所求代数式化简
a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3
=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3
=-1.
说明 这是用代入消元法消去a化简求值的.
解法2 因为a-b=-1,所以
原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab
=-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab
=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2
=-(-1)2=-1.
说明 这种解法是利用了乘法公式,将原式化简求值的.解法3 因为a-b=-1,所以
原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3
=a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3
=(-1)3=-1.
说明 这种解法巧妙地利用了-1=a-b,并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b),从而凑成了(a-b)3.
解法4 因为a-b=-1,所以
即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1,
所以 a3-b3-3ab(-1)=-1,
即 a3-b3+3ab=-1.
说明 这种解法是由a-b=-1,演绎推理出所求代数式的值.
解法 5
a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab
=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab
=(-1)3+3ab(-1)+3ab
=-1.
说明 这种解法是添项,凑出(a-b)3,然后化简求值.通过这个例题可以看出,求代数式的值的方法是很灵活的,需要认真思考,才能找到简便的算法.在本例的各种解法中,用到了几个常用的乘法公式,现总结如下:
解 由已知,xy=2(x+y),代入所求代数式中,消去xy,然后化简.所以
解 因为a=3b,所以
将a,c代入所求代数式,化简得
解 因为(x-5)2,|m|都是非负数,所以由(1)有
由(2)得y+1=3,所以y=2.
下面先化简所求代数式,然后再代入求值.
=x2y+5m2x+10xy2
=52×2+0+10×5×22=250
例6 如果4a-3b=7,并且3a+2b=19,求14a-2b的值.
分析 此题可以用方程组求出a,b的值,再分别代入14a-2b求值.下面介绍一种不必求出a,b的值的解法.
解 14a-2b=2(7a-b)
=2[(4a+3a)+(-3b+2b)]
=2[(4a-3b)+(3a+2b)]
=2(7+19)=52.
|x|+|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的值.
分析 所求代数式中六个绝对值的分界点,分别为:0,1,2,
据绝对值的意义去掉绝对值的符号,将有3个x和3个-x,这样将抵消掉x,使求值变得容易.
原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)
=-1-2+3+4+5=9.
说明 实际上,本题只要x的值在2与3之间,那么这个代数式的值就是9,即它与x具体的取值无关.
例8 若x:y:z=3:4:7,且2x-y+z=18,那么x+2y-z的值是多少?
分析 x:y:z=3:4:7可以写成
的形式,对于等比,我们通常可以设它们的比值为常数k,这样可以给问题的解决带来便利.
因为
所以
所以k=2,所以x=6,y=8,z=14,所以
例9 已知x=y=11,求
分析 本题是可直接代入求值的.下面采用换元法,先将式子改写得较简洁,然后再求值.
解 设x+y=m,xy=n.
原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n)
=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n
=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2
=(n+1)2-2m(n+1)+m2
=(n+1-m)2
=(11×11+1-22)2
=(121+1-22)2
=1002=10000.
说明 换元法是处理较复杂的代数式的常用手法,通过换元,可以使代数式的特征更加突出,从而简化了题目的表述形式.
1.求下列代数式的值:
(1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4,其中a=-2,b=1;
的值.
3.已知a=3.5,b=-0.8,求代数式
4.已知(a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0,求 a,b的值.
5.已知