一次不等式(不等式组)的解法
一次不等式(不等式组)的解法
不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型．在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”．本讲是系统学习不等式的基础．
下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析．
1．不等式的基本性质
这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))．
2．区间概念
在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集．如果设a，b为实数，且a＜b，那么
(1)满足不等式a＜x＜b的数x的全体叫作一个开区间，记作(a，b)．如图1－4(a)．
(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间，记作[a，b]．如图1－4(b)．
(3)满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b](或[a，b))．如图1－4(c)，(d)．
3．一次不等式的一般解法
一元一次不等式像方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准型：ax＞b，或ax＜b．为确定起见，下面仅讨论前一种形式．
一元一次不等式ax＞b．
(3)当a=0时，
例1 解不等式
解 两边同时乘以6得
化简得
两边同除以-7，有x≤2．所以不等式的解为x≤2，用区间表示为(-∞，2]．
例2 求不等式
的正整数解．
正整数解，所以原不等式的正整数解为x=1，2，3．
例3 解不等式
分析与解 因y2+1＞0，所以根据不等式的基本性质有
例4 解不等式
解 将原不等式变形为
解之得
例5 已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y＜x+9，试比较
解 首先解关于x的方程得x=-10．将x=-10代入不等式得
例6 解关于x的不等式：
解 显然a≠0，将原不等式变形为
即
说明 对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论．
例7 已知a，b为实数，若不等式
解 由(2a-b)x+3a-4b＜0得
由②可求得
将③代入①得
所以b＜0．于是不等式(a-4b)x+2a-3b＞0可变形为
因为b＜0，所以
下面举例说明不等式组的解法．
不等式组的解是不等式组中所有不等式解的公共部分．
若不等式组由两个不等式组成，分别解出每一个不等式，其解总可以归纳成以下四种情况之一(不妨设α＜β)：
解分别为：x＞β；x＜α；α＜x＜β；无解．如图1－5(a)，(b)，(c)，(d)所示．
若不等式组由两个以上不等式组成，其解可由下面两种方法求得：
(1)转化为求两两不等式解的公共部分．如求解
(2)不等式组的解一般是个区间，求解的关键是确定区间的上界与下界，如求解
确定上界：由x＜4，x＜8，x＜5，x＜2，从4，8，5，2这四个数中选最小的数作为上界，即x＜2．
确定下界：由x＞-4，x＞-6，x＞0，x＞-3．从-4，-6，0，-3中选最大的数作为下界，即x＞0．
确定好上、下界后，则原不等式组的解为：0＜x＜2．不等式组中不等式的个数越多，(2)越有优越性．
例8 解不等式组
解 原不等式组可化为
解之得
例9 解关于x的不等式组
解 解①得
解②得 3mx＞8． ④
(1)当m=0时，③，④变为
原不等式组无解．
(2)当m＞0时，③，④变形为
(3)当m＜0时，由③，④得
1．解下列不等式或不等式组：
2．解下列关于x的不等式或不等式组：
3．求同时满足不等式的整数解．
关于x的不等式ax＞b的解是什么？